Termodinâmica de buracos negros

Depois de um projeto que não deu muito certo para estudar a analogia entre eletrodinâmica quântica em 2 dimensões e a constante cosmológica, passei a estudar no último mês o assunto da relação entre termodinâmica e espaço-tempo, e estou achando cada vez mais pérolas sobre o assunto. Vou falar nos próximos posts aos poucos sobre o que se trata.

Tudo começou com os estudos de Stephen Hawking e alguns colaboradores sobre buracos negros. Primeiro, Hawking e independentemente dele D. Christodoulou e R. Ruffini em 1971 descobriram que a área total de um buraco negro só pode crescer ou permanecer constante. Inicialmente, a análise deles considerava a validade das equações da Relatividade Geral, porém trabalhos posteriores de Hawking, Roger Penrose e especialmente de Robert Wald, deixaram claro que isso é um fato bastante genérico de qualquer espaço-tempo onde vale uma certa condição de causalidade (chamada de hiperbolicidade global) e onde há uma certa noção de espaço-tempo incompleto (a noção de singularidade dos buracos negros), mesmo que a Relatividade Geral não seja válida.

A lei do aumento da área é curiosamente similar com a lei de que a entropia de um sistema físico de energia e volume fixos deve sempre crescer ou permanecer constante. Uma propriedade especial dos buracos negros garante que se possa definir uma noção de energia total que se conserva, em analogia com a primeira lei da Termodinâmica.  Em 1973, Hawking, J. M. Bardeen e B. Carter mostraram que havia uma analogia completa entre as quatro leis da Termodinâmica e a dinâmica de buracos negros (quatro porque inclui-se a lei zero):

a) A lei de conservação da energia de buracos negros pode ser escrita na mesma forma da primeira lei da termodinâmica,

fazendo identificações: a energia interna U é identificada com Mc², a temperatura T é identificada com a força gravitacional em cima do buraco negro, a entropia S é proporcional a área A do buraco negro e o trabalho W é identificado com o torque que provoca a alteração do momento angular. (Na fórmula acima já foi feita a aproximação quase-estática de que calor é TΔS)

b)  é   (Segunda Lei)

c) A força gravitacional na superfície do buraco negro nunca se anula, análogo a terceira lei do zero absoluto.

d) A força gravitacional na superfície de um buraco negro estacionário é constante ao longo da superfície, assim como a temperatura de um corpo em equilíbrio térmico é constante ao longo do corpo (Lei Zero).

Até 1975 esses resultados pareciam apenas simples coincidência. No artigo de 73 de Hawking, Bardeen e Carter, eles expressam claramente o sentimento deles na época:

Pode-se ver que κ/8π [a força gravitacional na superfície do buraco negro] é análoga a temperatura do mesmo modo que A [área] é análoga a entropia. No entanto, deve ser enfatizado que κ/8π e A  são distintas da temperatura e da entropia do buraco negro. De fato, a temperatura efetiva de um buraco negro é zero absoluto. Uma forma de ver isso, é notar que um buraco negro não pode estar em equilíbrio com radiação de corpo negro em nenhuma temperatura não-nula, porque nenhuma radiação pode ser emitida do buraco negro[grifo meu]

Em 1975, Hawking descobriu que eles não estavam corretos nessas afirmações. O que eles deixaram de fora eram as correções da mecânica quântica (ou mais precisamente, da teoria quântica de campos). Quando se leva em consideração a mecânica quântica, buracos negros vistos por um observador muito distante, agem como um corpo negro que emite radiação com a temperatura κ/2π. Em unidades do SI, um buraco negro eletricamente neutro de massa M sem rotação está em equilíbrio térmico a temperatura

Essa é, sem dúvidas, uma das fórmulas mais maravilhosas da Física. Esta fórmula é:

1. Um fenômeno puramente quântico, como se vê da presença da constante de Planck
   
2. Relativística, pela dependência na velocidade da luz
3. Gravitacional, pois depende da constante da gravitação universal de Newton
4. Resultado da mecânica estatística, como se nota pela constante de Boltzmann.

Que outro fenômeno conhecido da Física incorpora gravitação, mecânica quântica, mecânica estatística e relatividade? Eu não conheço nenhum outro!

A radiação térmica de buracos negros é conhecida como radiação Hawking. Devido a conservação da energia, a medida que o buraco negro emite radiação ele diminui gradativamente toda a sua carga elétrica, momento angular e massa, até deixar de existir por completo. Isso é um pouco misterioso na mecânica quântica, pois uma lei fundamental da teoria é a da conservação da probabilidade. Se inicialmente tivermos um sistema descrito por uma distribuição de probabilidade que está corretamente normalizada para ter área igual a 1 (i.e. a soma da probabilidade de todos os eventos possíveis é 100%) e uma parte do sistema cai no buraco negro, então após a evaporação a probabilidade engolida desaparece, violando a conservação da probabilidade. Isso é conhecido como o problema da perda de informação em buracos negros.

Mas nos próximos posts eu tentarei explorar o seguinte: a) de onde vem a radiação Hawking? Qual o processo físico que provoca a evaporação? e b) como a Relatividade Geral clássica já sabia disso? Como a teoria clássica da gravitação já corretamente incorporava a força gravitacional na superfície do buraco negro como uma temperatura associada a entropia proporcional a área?