A origem da gravidade

O que causa a gravidade? Em um post anterior falei sobre a relação entre a termodinâmica e os buracos negros, que parecia indicar uma relação íntima entre gravitação e termodinâmica. Na gravitação clássica, vemos que é possível fazer um paralelo completo entre as equações da Relatividade Geral e as equacões da termodinâmica. Quando se estuda um sistema quântico na presença de um buraco negro, é possível demonstrar passo-a-passo que o buraco negro é um corpo negro que emite radiação a uma certa temperatura T, portanto de fato buracos negros agem como sistemas termodinâmicos. Como a gravitação clássica "já sabia" que o buraco negro deveria se comportar como um sistema termodinâmico?

Uma possível resposta para essa pergunta foi formulada por Ted Jacobson, da Universidade de Maryland, em 1995 [1]. Como vimos antes, observadores acelerados podem emitir luz para regiões mas não podem receber sinais de luz delas. Para todos efeitos, essa região, parte do chamado horizonte de Rindler de um observador acelerado, age como um buraco negro, mesmo na ausência completa de matéria e gravidade. Vimos que na mecânica quântica é possível fazer um cálculo que mostra que o vácuo de um observador inercial é um corpo negro cheio de partículas quando visto por um observador acelerado, com uma temperatura T proporcional a aceleração do observador. Isso levou Jacobson as seguintes considerações: imagine que um observador dentro do seu cone de luz em IV (ver Fig. 1) supõe que as regiões I e III onde vivem observadores acelerados são um sistema termodinâmico com temperatura T proporcional a aceleração da órbita de um observador acelerado imediatamente fora do cone de luz — ou seja, consideramos o limite em que a órbita acelerada coincide com as linhas do cone de luz [2]. Daqui para diante, vamos nos referir então a essas regiões como sistema, simplesmente.

Fig. 1: Diagrama t-x do movimento de um observador acelerado. As linhas tracejadas determinam o interior do cone de luz (regiões II e IV) de um observador inercial que esteja parado na posição x = 0. A linha sólida é um exemplo de uma trajetória de um observador acelerado, como visto no referencial do observador inercial parado em x = 0. O vetor u é a velocidade do observador, e o vetor a é a sua aceleração. (C. Misner, K. Thorne, J.A. Wheeler, Gravitation, Freeman Co., sem permissão)

Adote como válida a primeira lei da termodinâmica para o sistema:

que diz que a variação de energia interna  de um sistema em um determinado processo termodinâmico é igual ao calor recebido pelo sistema , onde é a variação da entropia no processo e a temperatura do sistema. A medida que o tempo passa, partículas do cone de luz IV podem cruzar o cone de luz e ir parar nas regiões I e III, e vamos considerar isso como uma transferência de energia para o sistema. Em Relatividade, podemos associar qualquer fluxo de energia e momento com uma certa quantidade denotada por  (o tensor de energia-momento), que vamos naturalmente identificar como parte de . Usando a hipótese de que a variação da entropia é igual a variação da área do cone de luz, então a equação da primeira lei da termodinâmica pode ser reescrita de forma a dizer que deve haver uma distorção dos cones de luz, uma contração ou expansão, dependendo do fluxo de energia . Com um pouco de trabalho e muita perspicácia, essa equação da termodinâmica pode ser resolvida com a equação da Relatividade Geral que relaciona o campo gravitacional com a matéria

Vista desse ponto de vista, a Relatividade Geral é a equação de equilíbrio termodinâmico entre espaço-tempo e matéria. Isso sugere que a gravidade é um efeito macroscópico, resultado da interação de partículas com os cones de luz da Relatividade Especial, e não uma força fundamental da Natureza. 

A idéia de Jacobson é muito atraente por diversas razões. Ela responde a origem da relação entre termodinâmica e gravidade: seria uma identidade. O problema da quantização da gravidade desaparece: sendo a gravidade um efeito macroscópico, um limite termodinâmico, ela não existe microscopicamente, portanto não faria sentido discutir a descrição quântica da gravitação.

Contudo, a idéia não é conclusiva ainda. Não há nenhuma justificativa para a proporcionalidade entre e a variação da área do cone de luz. Na demonstração de Jacobson (ou qualquer outra versão do mesmo argumento) isso é uma hipótese que ainda precisa ser verificada como válida. A motivação dessa proporcionalidade é, naturalmente, a termodinâmica de buracos negros, porém mesmo nesse caso essa relação não tem uma demonstração (é apenas uma identificação por analogia). 

A questão é que não se pode ainda usar as técnicas da teoria da informação para calcular as entropias desses supostos sistemas termodinâmicos do espaço-tempo. Como vimos, a entropia é uma medida de falta de informação. Como horizontes bloqueiam observadores de obter acesso a regiões do espaço-tempo, eles são candidatos naturais a ter entropia: eles escondem informação sobre tudo que acontece dentro deles. Mas exatamente que informação está faltando? No caso de um gás de partículas, nós sabemos: são as posições e velocidades de cada partícula que não foram medidas. E no caso de buracos negros ou do horizonte de Rindler?

Para o caso de buracos negros é um completo mistério. É ainda mais complicado porque a noção de entropia como desordem para buracos negros é falha, e também a noção de que a entropia contaria graus de liberdade internos tem se mostrado confusa. O interior de um buraco negro pode conter inclusive um universo inteiro (a chamada solução de Oppenheimer-Synder) que tem infinitos graus de liberdade internos. Não parece que podemos obter qualquer resposta finita para a entropia de um buraco negro se esta estiver associada a graus de liberdade. Para o horizonte de Rindler é menos complicado, em especial porque é possível demonstrar que de fato o vácuo do observador inercial tem uma entropia S associada a ele quando visto de um observador acelerado, mas como mostrar que essa entropia é proporcional a área do cone de luz ainda é um mistério.

Essa é portanto a história do que sabe até o momento a respeito do problema dessas curiosas relações entre a gravidade e a termodinâmica. Um terreno fértil para idéias novas, onde muita coisa ainda precisa ser esclarecida.

Nota

1. Jacobson, Ted. Phys. Rev. Lett. 75, 1260-1263 (1995), arxiv:gr-qc/9504004.
2. Esse limite é possível porque a órbita de um partícula acelerada tende ao cone de luz no limite em que a aceleração vai a infinito.

O Efeito Unruh

Continuando as postagens sobre termodinâmica do espaço-tempo, essa é sobre uma descoberta curiosíssima devida a Bill (William) Unruh em 1976, um ano depois da descoberta da radiação Hawking [1].

Existência de partículas depende do observador

Nós temos uma noção intuitiva do que é uma partícula, porém somente em 1939 que Eugene Wigner deu uma definição matemática concreta para o que é uma partícula [2]. A definição matemática eu vou deixar de lado aqui, e notar apenas duas coisas importantes:

1. O conceito depende explicitamente de uma escolha de coordenada de tempo [3]. Para a simetria de Galileu, como aquela presente nas leis de Newton, isso não é um problema, pois todos os observadores do universo concordam que o intervalo de tempo entre dois eventos físicos é o mesmo. No entanto, isso só é verdade como uma aproximação. Por exemplo, suponha que há vários múons sentados (em repouso) em cima da mesa onde está o seu computador. Com relação ao relógio do computador, os múons decaem radioativamente em média de 10^-6 segundos. No entanto, quando estamos observando múons vindo a alta velocidade da alta atmosfera em direção ao chão — agora estamos vendo os múons do referencial em que estão em movimento — eles vivem mais que 10^-3 segundos (isso é um fato experimental). Assim, dois observadores diferentes não concordam entre quanto tempo leva para um múon decair.


2. Uma vez feita a identificação matemática do que significa uma partícula, pode-se introduzir um observável que conta quantas partículas existem no sistema. Com isso pode-se calcular, por exemplo, quantos elétrons N(θ) em média devem ser encontrados em um certo ângulo θ no experimento do espalhamento Compton dentro de uma certa área A naquele ângulo vista a uma certa distância r de onde ocorre o espalhamento. A concordância entre o cálculo e o efeito associado a "encontrar um elétron naquele ângulo" é perfeita [4].

Por causa que dois observadores diferentes não necessariamente concordam com o intervalo de tempo entre dois eventos físicos, eles também não conseguem concordar sobre a existência de partículas. Em 76, Bill Unruh mostrou, por exemplo, que se o observador S mede o universo no estado de vácuo, ou seja, ele tem que o número de partículas no universo é zero, então qualquer observador K que se move com relação a S com uma aceleração a mede N no universo como sendo diferente de zero, para K o universo está completamente preenchido de partículas em equilíbrio térmico e na temperatura 

Se concordamos então que o que chamamos de N mede o número de partículas no experimento do efeito Compton, somos obrigados a concordar que o valor de N em um determinado estado fixo depende do observador. 

Essa é uma previsão direta da mecânica quântica, sem firulas. Ela não pôde ser ainda confirmada porque a temperatura é muito baixa para acelerações razoáveis [5]. 

A conclusão, portanto, é a seguinte: se o universo estiver vazio (sem nenhuma partícula) como visto por um observador inercial, então um observador acelerado em relação a este referencial percebe o universo como um corpo negro de temperatura proporcional a aceleração.

Se o espaço e o tempo tem uma temperatura associada, então talvez tenham uma entropia. Como isso é possível? O espaço e o tempo vazio tem uma temperatura e entropia?

Horizonte de Rindler

O segredo está no que acontece com o observador acelerado.

Diagrama t-x (C. Misner, K. Thorne, J.A. Wheeler, Gravitation, Freeman Co., sem permissão)

No diagrama, a curva grossa é a trajetória t(x) de um corpo com aceleração constante a. Nesse diagrama, a velocidade da luz tem valor 1. Sendo assim, as linhas retas t = x + b, t = -x + b são as linhas por onde a luz se propaga. Qualquer sinal físico entre um ponto a outro só pode ser transmitido com inclinação igual ou maior que 1. Portanto, qualquer sinal emitido na região II jamais chega ao observador acelerado, mas o observador pode enviar sinais para essa região. Sinais na região IV podem atingir o observador, mas ele não pode emitir sinais para essa região. A região III está completamente incomunicável com o observador, para qualquer tempo futuro. Sendo assim, um observador acelerado, por causa da finitude da velocidade da luz, não tem como obter informação sobre todo o espaço-tempo. Qualquer raio de luz que ele vê passar para a região II jamais retorna. Nesse sentido, as linhas tracejadas que delimitam a interface entre as regiões I, IV e II definem um horizonte de eventos para o observador acelerado, similar (mas não idêntico) ao horizonte de eventos de um buraco negro. Então parece que a termodinâmica de buracos negros é só a ponta do iceberg da relação entre Termodinâmica e espaço-tempo.

Agora já temos parte dos conceitos necessários para entender que parece existir uma relação íntima entre a Termodinâmica e a própria Relatividade Geral. Isso fica para um próximo post, quando vou falar sobre teoria de informação aplicada aos horizontes de eventos e a descoberta de Ted Jacobson de que a Relatividade Geral é uma equação de estado da Termodinâmica.

Notas e referências

1. W. G. Unruh, Phys Rev D 14, 4, 870 (1976).
2. E. P. Wigner, Ann. Math. 40 149 (1939).
3. Para benefícios dos físicos que porventuram estiverem a ler isso: uma partícula é definida como um auto-estado de H e P, e H é definido como o gerador de translações temporais U(t). Escolhas diferentes da coordenada t representam escolhas diferentes do operador H.
4. E.g. R. P. Singhal, A. J. Burns, Am. J. Phys. 46, 6, 646 (1978).
5. George Matsas e Daniel Vanzella, que são experts nessa área, afirmam que não faz sentido buscar testes experimentais da radiação Unruh (Int.J.Mod.Phys.D11:1573-1578,2002; ou arxiv:0710.5373). O argumento deles: embora a escolha de partículas depende do referencial, a descrição é completamente covariante, portanto sempre é possível escolher um referencial em que o efeito Unruh desaparece. Isso é verdade, mas discordo que isso signifique não ser necessário medir o efeito: é importante demonstrar experimentalmente que a nossa definição de partículas, que leva a definição do número de ocupação N, realmente concorda com a realidade da Natureza, independente da escolha de referencial. O efeito de fato é automático, é uma previsão da teoria, mas precisa ser testado como qualquer outro efeito.

Informação e entropia

Eu comentei antes brevemente sobre informação e entropia, mas não dei uma explicação satisfatória. Aqui eu pretendo explicar melhor para semana que vem continuar a falar sobre a termodinâmica do espaço-tempo. 

Medida de informação

Suponhamos que queremos definir objetivamente o conteúdo de informação de uma mensagem. Para isso vamos definir uma medida de informação. Em matemática, medida pode ser definida de forma axiomática e abstrata, todavia por aqui vamos apenas nos conformar com o fato de que volume de um sóido, área de um polígono e comprimento de uma curva são exemplos de medidas. Queremos então uma fórmula para o volume de informação que uma mensagem tem. Esse problema surgiu pela primeira vez na engenharia de comunicação, e foi resolvido na tese de doutorado de Claude Shannon. Nós sempre podemos formular o problema da seguinte forma: considere um canal de comunicação que transmite mensagens em um certo código (e.g. binário/digital, ou Morse, ou a modulação da freqüência de ondas eletromagnéticas), e estamos escutando o canal em uma ponta, esperando chegar mensagens. Cada mensagem m tem uma certa probabilidade p_m de ser recebida. Nós queremos que a quantidade de informação de uma mensagem m seja uma função I_m = I(p_m), , com as seguintes propriedades:

1. I(1) = 0, ou seja, se já sabíamos que a mensagem seria recebida (a mensagem tem probabilidade 1), nenhuma informação foi ganha.
   
2. I é decrescente no intervalo [0,1], ou seja, quanto menos achávamos provável receber a mensagem, mais informação ganhamos ao recebê-la.
   
3. Se recebemos duas mensagens (estatisticamente independentes) em sucessão, a quantidade de informação ganha é a soma da informação contida em cada mensagem: I(pq) = I(p) + I(q).
   

É um problema de cálculo determinar a função I das hipóteses 1-3. Você pode escrever a equação diferencial que satisfaz (3) usando (1) como condição inicial. A resposta é

I(p) = -k log p

para uma constante arbitrária k. No caso da comunicação digital, é conveniente definir k de modo que

I(p) = -log₂ p

pois assim a quantidade informação continda numa mensagem de N  bits é I(1/2^N) = N, de acordo com a nossa intuição.

Falta de informação média e entropia

Agora considere o caso de uma linha de átomos, cada átomo com um momento magnético que pode apontar para cima ou para baixo, ou então uma seqüência de moedas, cada uma podendo estar na posição cara ou coroa. Em princípio, um experimentador poderia medir simultaneamente a direção de todos os spins da cadeia, ou fotografar a seqüência de moedas por inteiro. Isso permitiria determinar completamente o estado do sistema, que vamos chamar estado microscópico. Se a cadeia se organiza aleatoriamente (ou as moedas foram todas jogadas aleatoriamente para cima antes de cair no seu lugar na seqüência), então para cada estado possível m da cadeia há uma probabilidade p_m do experimentador encontrar a cadeia naquele estado. Observe que não precisamos supor nada sobre essa distribuição de probabilidades: pode ser que a chance de obter cara seja 1/2, mas pode ser que seja 1/6 (moeda enviesada). O único requisito é que 

 

ou seja, as probabilidades estão normalizadas para 100%. Se o experimentador deixou de medir a cadeia de spins no estado m, então a quantidade de informação perdida é dada por

I_m = -k log p_m

Portanto, a quantidade média de informação perdida do sistema se o experimentador não realizar nenhuma medida, é

 

Suponha que o sistema pode ser encontrado em um total de W estados, o que na física é chamado de o espaço de fases do sistema. Para o nosso sistema de spin ou moedas, W = 2^N (a determinação de W é um problema de combinatória ). Agora queremos saber qual é a quantidade máxima de informação que perdemos por não termos realizado nenhum dos possíveis experimentos que determina o estado microscópico do sistema. Isso é um problema de cálculo que no Brasil é apresentando em geral no curso universitário Cálculo II: encontrar o máximo da função de várias variáveis p_m. Isso permite determinar qual a distribuição de probabilidades sem assumir nenhum conhecimento prévio sobre o sistema. De acordo com a intuição, essa distribuição deveria ser p = 1/W, e de fato é esse o resultado do cálculo [1]:

que é a fórmula de Boltzmann. Como prometido, esta ai demonstrado matematicamente que entropia é a quantidade de informação perdida quando deixamos de fazer todas as medidas possíveis que determinariam o estado microscópico do sistema. Da definição de S dada pela equação acima podemos demonstrar todas as suas propriedades, como concavidade (a segunda lei da Termodinâmica), extensividade, etc.

O significado informacional da temperatura, pressão e potencial químico

Toda a Termodinâmica é um caso particular de um problema matemático da teoria de informação. Na Termodinâmica dos gases, por exemplo, nós temos um sistema físico composto de N partículas, cada partícula com uma energia ε, e todas as partículas juntas ocupam um volume total V. Nós poderíamos, em princípio, medir experimentalmente a posição e a velocidade de cada partícula. Mas como em um gás há ~ 10²³ partículas, isso seria uma tarefa hercúlea. No lugar disso, nós vamos dizer que as partículas podem estar com uma certa distribuição de probabilidades com uma dada velocidade e posição, e a única coisa que sabemos é o valor estatístico médio de certas variáveis. Por exemplo,

que é o valor médio estatístico da energia. Nós não sabemos a priori qual a probabilidade p_n do sistema ter energia E_n. Nesse caso, a quantidade máxima de informação perdida (para não assumir nenhum conhecimento que não possuímos sobre o sistema) precisa ser calculada levando em conta que já sabemos o valor médio da energia, do volume e o número de partículas do sistema. Isso é o que se chama de um cálculo de maximização com vínculos. Lagrange mostrou que nesse caso vai existir um conjunto de parâmetros, chamados os multiplicadores de Lagrange, um para cada vínculo do sistema. O vínculo da energia introduz um parâmetro que é chamado de temperatura, o do volume, pressão, e o número de partículas, potencial químico. A temperatura de um sistema é o multiplicador de Lagrange da falta de informação máxima dada a energia fixa do sistema. [2]

Nota final: revisitando entropia e desordem, e matando de vez por todas o clichê criacionista

Como expliquei no blog antes, o sistema magnético é um exemplo de sistema onde maior entropia significa maior ordem (e não desordem). Primeiro, vou explicar com outras palavras para que fique mais claro.

Considere um gás ideal com N partículas em um recipiente V. Pela fórmula da entropia,

, onde f é uma função de outras variáveis que não nos interessam no momento. Você nunca vai encontrar o gás em um volume V/2, porque , e a segunda lei da termodinâmica diz que dados os vínculos do sistema, ele assume os valores de temperatura, pressão, etc., de modo que S seja máxima. É possível dar uma interpretação intuitiva para isso, dizendo que se o gás ocupasse um volume V/2 ele estaria "mais organizado" do que se ele ocupasse um volume V. Sem precisar continuar, no entanto, eu posso agora mesmo apontar uma falha nessa interpretação. Observe que a entropia de V/2 é menor que V independente de como as partículas estão distribuídas. Em geral, as pessoas imaginam que V/2 seria algo como todas as partículas ocupando uma parte a esquerda (ou a direita que seja) do recipiente. Mas se todas as partículas estivessem ocupando um fractal maluco de volume V/2 dentro de V, a entropia do volume V/2 ainda seria a mesma. Mas vamos ignorar isso. Vamos aplicar a mesma lógica aos imãs. Nesse caso, se o sistema tem uma magnetização M (que é o campo magnético do imã) não nula, então o sistema tem que ter uma ordem parcial dos spins: eles precisam estar  em média estatística ordenados apontando na direção do campo total M, que nada mais é que a soma dos spins de todos os átomos. E para a temperatura abaixo da temperatura de Curie (i.e. quando o imã existe!), esse é o estado de equilíbrio do sistema. Portanto, , pela segunda lei da Termodinâmica. Mas o estado com M = 0 é exatamente o estado mais desordenado, onde os spins apontam aleatoriamente sem nenhuma correlação entre eles. Não estou comparando aqui um estado de equilíbrio com outro estado de equilíbrio (não é assim que se faz a maximização de S), estou imaginando que o sistema estava inicialmente em uma condição em que o equilíbrio era atingindo por um estado parcialmente organizado (como tem que ser se M for não nulo, ou seja, o material é um imã), e fazendo um "deslocamento virtual" para um estado em que ele está mais desorganizado. A probabilidade de encontrar o sistema no estado mais desorganizado vai a zero, a medida que o sistema é mais desorganizado (do mesmo modo que encontrar um gás com todas as partículas num cubo de volume V/2 na metade de um recipiente retangular de volume V tem probabilidade zero).

Isso mostra que não podemos utilizar a intuição de desordem para atribuir entropia. Não podemos dizer, por exemplo, que a molécula de DNA em meio aquoso possui menos entropia que os nucleotídios separados em meio aquoso. Para poder determinar se a entropia do DNA é maior ou menor, precisamos fazer a conta, meu filho, e isto representa contar todos os estados acessíveis ao DNA e usar a fórmula de Boltzmann. 

Nota

1. Na Wikipedia há um artigo que mostra como fazer esse cálculo. Você também pode aprender um pouco mais sobre teoria de informação lá.
2. Os cálculos detalhados e uma argumentação brilhante de porque a Termodinâmica é nada mais que um problema da teoria de informação, pode ser encontrado nos artigos de E. T. Jaynes Phys. Rev. 106, 620 - 630 (1957); Phys. Rev. 108, 171 - 190 (1957), ou então no livro E. T. Jaynes, Probability Theory, ou também alguns livros de física estatística, como do Roger Balian, From microphysics to macrophysics, Springer.
   

Termodinâmica de buracos negros

Depois de um projeto que não deu muito certo para estudar a analogia entre eletrodinâmica quântica em 2 dimensões e a constante cosmológica, passei a estudar no último mês o assunto da relação entre termodinâmica e espaço-tempo, e estou achando cada vez mais pérolas sobre o assunto. Vou falar nos próximos posts aos poucos sobre o que se trata.

Tudo começou com os estudos de Stephen Hawking e alguns colaboradores sobre buracos negros. Primeiro, Hawking e independentemente dele D. Christodoulou e R. Ruffini em 1971 descobriram que a área total de um buraco negro só pode crescer ou permanecer constante. Inicialmente, a análise deles considerava a validade das equações da Relatividade Geral, porém trabalhos posteriores de Hawking, Roger Penrose e especialmente de Robert Wald, deixaram claro que isso é um fato bastante genérico de qualquer espaço-tempo onde vale uma certa condição de causalidade (chamada de hiperbolicidade global) e onde há uma certa noção de espaço-tempo incompleto (a noção de singularidade dos buracos negros), mesmo que a Relatividade Geral não seja válida.

A lei do aumento da área é curiosamente similar com a lei de que a entropia de um sistema físico de energia e volume fixos deve sempre crescer ou permanecer constante. Uma propriedade especial dos buracos negros garante que se possa definir uma noção de energia total que se conserva, em analogia com a primeira lei da Termodinâmica.  Em 1973, Hawking, J. M. Bardeen e B. Carter mostraram que havia uma analogia completa entre as quatro leis da Termodinâmica e a dinâmica de buracos negros (quatro porque inclui-se a lei zero):

a) A lei de conservação da energia de buracos negros pode ser escrita na mesma forma da primeira lei da termodinâmica,

fazendo identificações: a energia interna U é identificada com Mc², a temperatura T é identificada com a força gravitacional em cima do buraco negro, a entropia S é proporcional a área A do buraco negro e o trabalho W é identificado com o torque que provoca a alteração do momento angular. (Na fórmula acima já foi feita a aproximação quase-estática de que calor é TΔS)

b)  é   (Segunda Lei)

c) A força gravitacional na superfície do buraco negro nunca se anula, análogo a terceira lei do zero absoluto.

d) A força gravitacional na superfície de um buraco negro estacionário é constante ao longo da superfície, assim como a temperatura de um corpo em equilíbrio térmico é constante ao longo do corpo (Lei Zero).

Até 1975 esses resultados pareciam apenas simples coincidência. No artigo de 73 de Hawking, Bardeen e Carter, eles expressam claramente o sentimento deles na época:

Pode-se ver que κ/8π [a força gravitacional na superfície do buraco negro] é análoga a temperatura do mesmo modo que A [área] é análoga a entropia. No entanto, deve ser enfatizado que κ/8π e A  são distintas da temperatura e da entropia do buraco negro. De fato, a temperatura efetiva de um buraco negro é zero absoluto. Uma forma de ver isso, é notar que um buraco negro não pode estar em equilíbrio com radiação de corpo negro em nenhuma temperatura não-nula, porque nenhuma radiação pode ser emitida do buraco negro[grifo meu]

Em 1975, Hawking descobriu que eles não estavam corretos nessas afirmações. O que eles deixaram de fora eram as correções da mecânica quântica (ou mais precisamente, da teoria quântica de campos). Quando se leva em consideração a mecânica quântica, buracos negros vistos por um observador muito distante, agem como um corpo negro que emite radiação com a temperatura κ/2π. Em unidades do SI, um buraco negro eletricamente neutro de massa M sem rotação está em equilíbrio térmico a temperatura

Essa é, sem dúvidas, uma das fórmulas mais maravilhosas da Física. Esta fórmula é:

1. Um fenômeno puramente quântico, como se vê da presença da constante de Planck
   
2. Relativística, pela dependência na velocidade da luz
3. Gravitacional, pois depende da constante da gravitação universal de Newton
4. Resultado da mecânica estatística, como se nota pela constante de Boltzmann.

Que outro fenômeno conhecido da Física incorpora gravitação, mecânica quântica, mecânica estatística e relatividade? Eu não conheço nenhum outro!

A radiação térmica de buracos negros é conhecida como radiação Hawking. Devido a conservação da energia, a medida que o buraco negro emite radiação ele diminui gradativamente toda a sua carga elétrica, momento angular e massa, até deixar de existir por completo. Isso é um pouco misterioso na mecânica quântica, pois uma lei fundamental da teoria é a da conservação da probabilidade. Se inicialmente tivermos um sistema descrito por uma distribuição de probabilidade que está corretamente normalizada para ter área igual a 1 (i.e. a soma da probabilidade de todos os eventos possíveis é 100%) e uma parte do sistema cai no buraco negro, então após a evaporação a probabilidade engolida desaparece, violando a conservação da probabilidade. Isso é conhecido como o problema da perda de informação em buracos negros.

Mas nos próximos posts eu tentarei explorar o seguinte: a) de onde vem a radiação Hawking? Qual o processo físico que provoca a evaporação? e b) como a Relatividade Geral clássica já sabia disso? Como a teoria clássica da gravitação já corretamente incorporava a força gravitacional na superfície do buraco negro como uma temperatura associada a entropia proporcional a área?

Entropia e desordem: mal entendidos em Física vol. 2

Nota: Em alguns aspectos, outro post apresenta o que está aqui de forma melhor e mais detalhada, porém, mais matemática.

Edição: 22/08/08, em versão anterior, eu atribui a Carnot o conceito de entropia e a demonstração de que Q/T é maior ou igual a zero. Parece que, na verdade, isto foi devido a Clausius.

Um dos conceitos mais interessantes da Física é o da entropia. A entropia surgiu pela primeira vez quando se começou a debater a eficiência das máquinas, quando Clausius demonstrou que em um processo reversível vale a desigualdade

 

para variação de calor  em um processo a temperatura T. Clausius chamou o lado esquerdo da desigualdade de entropia.

Hoje em dia entende-se que o que é fundamental e universal para todos os sistemas físicos macroscópicos é a existência de uma função S da energia U, volume V, número de partículas que constitutem o material N, e possivelmente outras variáveis como campos elétricos e magnéticos: S = S(U,V,N, ...). Postula-se a existência dessa função, chamada de entropia, assim como suas propriedades, o que define a segunda lei da Termodinâmica. Isso deixa bem claro quais são as regras do jogo, as leis fundamentais da Natureza, assim como se faz com a formulação da lei de Newton (a existência de uma função vetorial F, da posição, velocidade e do tempo, que satisfaz F = ma, e que se chama de força).

Mas toda matéria é feita de átomos. E cada átomo tem propriedades como a sua posição, velocidade relativa a um certo referencial, massa, energia, etc. Não entra entropia na lista. Se toda a matéria é feita de átomos, de onde vem a existência dessa função S?

A interpretação usual da entropia é chama-la de uma medida de desordem. Quase todos os físicos interpretam assim. Não só vaga e subjetiva, essa interpretação é incorreta. Vejamos o caso de um sistema ferromagnético (como o ferro). Abaixo de uma certa temperatura

, o material cria um campo magnético externo. Isso é porque cada átomo contém um certo dipolo magnético , que é uma espécie de "carga" magnética. A energia de dois dipolos é dada por , então a energia mínima é alcançada quando os dipolos apontam na mesma direção. Quando a energia de agitação térmica é bem maior que a de ligação dos dipolos, estes são nocauteados em direções aleatórias, e ai a soma sobre todos os átomos dá um campo magnético zero. Se baixarmos suficientemente a temperatura, o acoplamento magnético vence a agitação térmica e o material adquire um campo magnético externo. Nesse estado, todos os dipolos magnéticos estão alinhados: a ordenação do sistema é máxima. Se imaginarmos desalinhar os momentos magnéticos a temperaturas , o sistema vai sair de um estado desordenado para um ordenado, e vai aumentar a entropia, pela segunda lei da Termodinâmica. Dai aumentamos a entropia do sistema e a ordem também.

A entropia foi vinculada as variáveis microscópicas da Natureza por Ludwig Boltzmann. Ele mostrou que o logarítmo do volume do espaço composto pelas variáveis microscópicas (como a posição e momento) é a entropia:

onde W é o volume do espaço das variáveis microscópicas, e k, a constante de Boltzmann, é uma constante que fixa as unidades. Com a equação de Boltzmann, agora podemos entender melhor o que significa a entropia.

A interpretação correta da entropia tem a ver com o conceito de informação. O conceito foi matematizado por Claude Shannon, que demonstrou que há uma medida (no sentido matemático da palavra, como a idéia de área e volume) que tem as propriedades que associaríamos intuitivamente com informação, e esta medida é exatamente a equação de Boltzmann!  Na interpretação de Shannon, a entropia é uma medida da falta de informação sobre o sistema: escolhemos as variáveis U, V, N, e omitimos, por exemplo, as velocidades individuais das partículas; a medida (volume) da informação perida é a entropia S. Em dois artigos de 1957, o físico Edwin T. Jaynes, na época na Universidade de Stanford,  mostrou o seguinte: a medida de informação do sistema, chamemo-la de S, é exatamente a fórmula de Boltzmann quando a falta de informação (no sentido de Shannon) é máxima. Dessa forma, podemos entender a entropia como sendo a medida de informação associada a um sistema de várias partículas, e o equilíbrio termodinâmico (a maximização da entropia) é alcançado quando há a menor quantidade de informação disponível sobre o sistema.

Então, o que é entropia? Um sistema físico composto por átomos seria em totalidade descrito pela posição, velocidade, momento magnético, etc., de cada átomo. Para um número muito grande de átomos, podemos ignorar essas variáveis e nos concentrar no número mínimo de variáveis coletivas do sistema como um todo: a energia total (de todas as partículas), o volume (a região do espaço ocupada por qualquer uma partícula), o número total de partículas, o campo magnético total, etc. Se mudarmos uma das variáveis, então podemos nos perguntar para onde vai o sistema? Isto é, qual o valor novo das novas variáveis? Por exemplo, se temos um gás dentro de um recipiente de volume V que não troca calor com meio externo, e então duplicarmos o volume, qual a nova temperatura? A resposta é a seguinte: o novo estado do sistema será tal que a quantidade de informação é a mínima possível (ou seja, a entropia é máxima, dados os vínculos do sistema).

Para finalizar, o conceito de informação de Shannon encontrou aplicação em outras áreas da Física também: sistemas dinâmicos, caos e complexidade, e também em computação quântica. Mas cada assunto desse é mais que um post...

Para saber mais:

1. A Mathematical Theory of Communication, C. Shannon, online.
2. E. T. Jaynes, Phys. Rev. 106, 620; Phys. Rev. 108, 171.
3. H. Callen, Thermodynamics
4. S. A. Salinas, Introdução a Física Estatística, Edusp.

Entropia máxima

A terceira lei da termodinâmica possui um limite mínimo para a entropia que um sistema pode ter (que é zero). Hoje encontrei este artigo,

http://arxiv.org/abs/0806.2388v1

em que há uma elegante e muito simples demonstração de um limite superior para a entropia de um sistema,

onde g ~ O(1) [um número da ordem de 1].